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《线性代数C1》期末试卷A (精选10)
时间：120分钟 | 课程：线性代数C1 | 学分：2 | 形式：闭卷 | 总分：100分
一、单项选择题（每题3分，共18分）
- 行列式 $\left| \begin{array}{cc}a - 1 & 3\\ 3 & a - 1 \end{array} \right| \neq 0$ 的充分必要条件是（ ）。
- A. $a \neq -2$
- B. $a \neq 4$
- C. $a \neq 4$ 或 $a \neq -2$
- D. $a \neq 4$ 且 $a \neq -2$
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答案：D
解析：
- 计算行列式：二级行列式的值为主对角线元素之积减去副对角线元素之积。$$|A| = (a-1)^2 - 3 \times 3 = (a-1)^2 - 9$$
- 建立不等式：题目要求行列式不等于 0，即：$$(a-1)^2 - 9 \neq 0 \implies (a-1)^2 \neq 9$$
- 求解：$$a-1 \neq 3 \implies a \neq 4$$$$a-1 \neq -3 \implies a \neq -2$$故充分必要条件是 $a \neq 4$ 且 $a \neq -2$。
难度: ⭐ 考点: #行列式计算 #充分必要条件
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📖 相关公式：
- 二阶行列式：$\left| \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc$。
- $A \neq 0$ 是矩阵可逆、行列式不为零、向量组线性无关等多个概念的交汇点。
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若行列式 $\left| \begin{array}{cc} 2 & k \\ k & 8 \end{array} \right| = 0$，求 $k$ 的值。
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答案：$k = \pm 4$。 解析：$2 \times 8 - k^2 = 0 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$。
- 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则下列结论成立的是（ ）。
- A. $|A + B| = |A| + |B|$
- B. $AB = BA$
- C. $|AB| = |BA|$
- D. $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$
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答案：C
解析：
- 选项 A：行列式不满足加法分配律。例如 $A=E, B=-E$，则 $|A+B|=0$，而 $|A|+|B|=1+(-1)^n \neq 0$（当 $n$ 为偶数时）。
- 选项 B：矩阵乘法一般不满足交换律。
- 选项 C：根据行列式的乘法定理，$|AB| = |A||B|$。由于实数乘法满足交换律，故 $|A||B| = |B||A| = |BA|$。此结论恒成立。
- 选项 D：矩阵逆运算不满足加法分配律。
难度: ⭐ 考点: #行列式性质 #矩阵运算规则
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📖 相关公式：
- $|AB| = |A| \cdot |B|$
- 注意：$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 是方阵的阶数。
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设 $A$ 为 3 阶方阵，$|A| = 2$，则 $|-2A| = $ ______。
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答案：-16。 解析：根据性质 $|kA| = k^n |A|$，此处 $n=3, k=-2, |A|=2$。则 $|-2A| = (-2)^3 \times 2 = -8 \times 2 = -16$。
- 设 $A$ 是 4 阶方阵，$|A| = c \neq 0$，$A$ 的伴随阵为 $A^*$，则 $|A^*| = $（ ）。
- A. $c$
- B. $c^2$
- C. $c^3$
- D. $c^4$
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答案：C
解析：
- 核心公式：利用公式 $AA^* = |A|E$。
- 两边取行列式：$|AA^*| = ||A|E|$。
- 推导过程：
- 左边：$|AA^*| = |A| \cdot |A^*|$
- 右边：$||A|E| = |A|^n |E| = |A|^n$（这里 $n=4$）
- 代入：$|A| \cdot |A^*| = |A|^4$
- 约去 $|A|$（已知 $|A|=c \neq 0$）：$|A^*| = |A|^{n-1} = c^{4-1} = c^3$。
难度: ⭐ 考点: #伴随矩阵 #行列式性质
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📖 相关公式：
- $|A^*| = |A|^{n-1}$
- $(kA)^* = k^{n-1} A^*$
- $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$
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设 $A$ 为 3 阶方阵，$|A| = 2$，求 $|(3A)^*|$。
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答案：144。 解析：
- 先处理常数：$(3A)^* = 3^{3-1} A^* = 9A^*$。
- 求行列式：$|9A^*| = 9^3 |A^*|$。
- 代入公式：$|A^*| = |A|^{3-1} = 2^2 = 4$。
- 计算：$729 \times 4 = 2916$。 (注：此处演示常数处理，逻辑同原题)
- 设 $\beta_1, \beta_2$ 是方程组 $\begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$ 的解向量，$\alpha_1, \alpha_2$ 为对应的齐次线性方程组的解，则下面结论正确的是（ ）。
- A. $\beta_1 + \beta_2 + 2\alpha_1$ 为该非齐次方程组的解
- B. $\beta_1 + \alpha_1 + \alpha_2$ 为该非齐次方程组的解
- C. $\beta_1 + \beta_2$ 为该非齐次方程组的解
- D. $\beta_1 - \beta_2 + \alpha_1$ 为该非齐次方程组的解
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答案：B
解析： 设非齐次方程组为 $Ax = b$，对应齐次方程组为 $Ax = 0$。
- 已知 $A\beta_1 = b, A\beta_2 = b$ 且 $A\alpha_1 = 0, A\alpha_2 = 0$。
- 选项 A：$A(\beta_1 + \beta_2 + 2\alpha_1) = A\beta_1 + A\beta_2 + 2A\alpha_1 = b + b + 0 = 2b \neq b$。
- 选项 B：$A(\beta_1 + \alpha_1 + \alpha_2) = A\beta_1 + A\alpha_1 + A\alpha_2 = b + 0 + 0 = b$。符合解的定义。
- 选项 C：$A(\beta_1 + \beta_2) = 2b \neq b$。
- 选项 D：$A(\beta_1 - \beta_2 + \alpha_1) = b - b + 0 = 0 \neq b$。
难度: ⭐⭐ 考点: #非齐次线性方程组 #解的结构
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📖 相关规律：
- 特解 + 齐次通解 = 非齐次通解。
- 两个非齐次解之差 = 齐次解。
- 两个非齐次解之和的一半（加权和且权值之和为1） = 非齐次解。
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设 $\eta_1, \eta_2$ 是 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是 $Ax=0$ 的解，则下列仍为 $Ax=b$ 的解的是： (A) $\eta_1 + \eta_2$ (B) $\eta_1 - \eta_2$ (C) $\eta_1 + 2\xi$ (D) $2\eta_1 - \eta_2$
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答案：C 和 D。 解析：
- C 项：$A(\eta_1 + 2\xi) = A\eta_1 + 2A\xi = b + 0 = b$。
- D 项：$A(2\eta_1 - \eta_2) = 2A\eta_1 - A\eta_2 = 2b - b = b$。
- 一个 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s (s > 1)$ 线性相关的充分必要条件是其中（ ）。
- A. 含有零向量
- B. 有两个向量的对应分量成比例
- C. 每一个向量是其余向量的线性组合
- D. 至少有一个向量是其余向量的线性组合
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答案：D
解析： 根据线性相关的定义：
- 向量组线性相关 $\iff$ 存在不全为零的常数 $k_1, \dots, k_s$ 使得 $k_1\alpha_1 + \dots + k_s\alpha_s = 0$。
- 设 $k_i \neq 0$，则可以将 $\alpha_i$ 表示为：$\alpha_i = -\frac{k_1}{k_i}\alpha_1 - \dots - \frac{k_s}{k_i}\alpha_s$（不含 $\alpha_i$ 项）。
- 这意味着至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
难度: ⭐ 考点: #线性相关 #充分必要条件
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若向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，则（ ）。 (A) $\alpha_3$ 必为零向量 (B) $\alpha_3$ 必可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示
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答案：B。 解析：若增加一个向量后由无关变相关，则新加入的向量必可由原无关组唯一表示。
::: note 补充说明 选项 A 和 B 是线性相关的充分条件，但不是必要条件（即使不含零向量或不成比例，也可能线性相关）。选项 C 太过绝对，通常只有一个或部分向量能被其余向量表示。 :::
- 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系，则下列答案中也是 $Ax = 0$ 的基础解系的为（ ）。
- A. $\alpha_1, \alpha_1 - \alpha_2, \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$
- B. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的任意线性组合
- C. $\alpha_1 - \alpha_2, \alpha_2 - \alpha_3, \alpha_3 - \alpha_1$
- D. $\alpha_1, 2\alpha_1, 3\alpha_1$
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答案：A
解析： 基础解系必须满足两个条件：1. 都是方程组的解；2. 向量组线性无关且个数等于基础解系含量（此处为 3）。
- 选项 A：三个向量显然是原解系的线性组合，故仍为解。检查线性无关性： 设 $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 - \alpha_2) + k_3(\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3) = 0$ 整理得：$(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_1 - (k_2 + k_3)\alpha_2 - k_3\alpha_3 = 0$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，系数必全为 0： $k_3 = 0 \implies k_2 + k_3 = 0 \implies k_2 = 0 \implies k_1 + k_2 + k_3 = 0 \implies k_1 = 0$。 故线性无关，是基础解系。
- 选项 B：任意线性组合不一定线性无关。
- 选项 C：三个向量之和为零向量，必线性相关。
- 选项 D：三个向量成比例，必线性相关。
难度: ⭐⭐ 考点: #基础解系 #线性无关性判定
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📖 判定技巧： 若新向量组 $\beta = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) P$，则 $\beta$ 为基础解系的充要条件是转换矩阵 $P$ 可逆。 本题 A 选项对应的 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，显然可逆。
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若 $\alpha_1, \alpha_2$ 是基础解系，$\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - \alpha_2$ 是否也是基础解系？
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答案：是。 解析：转换矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，$|P| = -2 \neq 0$，可逆，故仍为基础解系。
二、填空题（每题3分，共18分）
- 行列式 $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right|$ 中元素 5 的代数余子式为 ______。 (注：此处 OCR 原文为 "0 5 01、行列式 中元素入的代数余子式为"，经推断补全为 3 阶行列式示例)
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答案：0
解析：
- 定位元素：元素 5 位于第 2 行第 2 列，即 $a_{22} = 5$。
- 计算代数余子式：公式为 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。$$A_{22} = (-1)^{2+2} \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right|$$
- 计算余子式：$$M_{22} = 1 \times 6 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0$$故 $A_{22} = 1 \times 0 = 0$。
难度: ⭐ 考点: #代数余子式
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求上述行列式中元素 1 的代数余子式。
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答案：30。 解析：元素 1 位于 $a_{11}$，$A_{11} = (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 4 & 6 \end{array} \right| = 1 \times (30 - 0) = 30$。
- 设 $\left| \begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = m \neq 0$，则 $\left| \begin{array}{ccc}3a_{11} & 2a_{11} - 4a_{12} & a_{13}\\ 3a_{21} & 2a_{21} - 4a_{22} & a_{23}\\ 3a_{31} & 2a_{31} - 4a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =$ ______。
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答案：-12m
解析： 设原行列式为 $D$。对新行列式进行变换：
- 提取公因子：第 1 列提取 3。$$D' = 3 \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & 2a_{11} - 4a_{12} & a_{13} \\ \dots & \dots & \dots \end{array} \right|$$
- 列变换：第 2 列减去第 1 列的 2 倍（$C_2 - 2C_1$）。根据行列式性质，此变换不改变值。$$D' = 3 \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & -4a_{12} & a_{13} \\ \dots & \dots & \dots \end{array} \right|$$
- 再次提取公因子：从第 2 列提取 -4。$$D' = 3 \times (-4) \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \dots & \dots & \dots \end{array} \right| = -12m$$
难度: ⭐⭐ 考点: #行列式性质
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📖 相关性质：
- 某行（列）有公因子 $k$，可提至号外。
- 某行（列）的 $k$ 倍加至另一行（列），行列式值不变。
- 两行（列）互换，值变号。
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若 $|A| = m$，则 $|-A|$ 的值为多少？
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答案：$(-1)^n m$。 解析：提取行列式每一行的公因子 $-1$，共提取 $n$ 次。
- 向量组 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 的秩为 ______。
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答案：2
解析：
- 观察向量关系：显然有 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，说明 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关。
- 检查剩余向量：考察 $\{\alpha_1, \alpha_3\}$。 由于其分量不成比例（$1/1 \neq 1/3$），故 $\alpha_1, \alpha_3$ 线性无关。
- 结论：最大无关组含 2 个向量，故秩为 2。
难度: ⭐ 考点: #向量组的秩
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若将 $\alpha_3$ 改为 $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$，则秩为多少？
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答案：1。 解析：此时所有向量均成比例，最大无关组仅含 1 个向量。
- 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ 与 $B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix}$ 相乘可以交换，则 $x$ 和 $y$ 满足关系 ______。
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答案：y - x = 1
解析：
- 计算 $AB$：$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4 & 1+2y \\ 4x+6 & 4+3y \end{pmatrix}$$
- 计算 $BA$：$$BA = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4 & 2x+3 \\ 2+4y & 4+3y \end{pmatrix}$$
- 令 $AB = BA$： 对应元素相等：
- $1+2y = 2x+3 \implies 2y - 2x = 2 \implies y - x = 1$
- $4x+6 = 2+4y \implies 4x - 4y = -4 \implies x - y = -1 \implies y - x = 1$ 故满足关系 $y - x = 1$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵乘法交换律
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⚠️ 易错提醒： 矩阵乘法通常不满足交换律，只有特定矩阵（如同阶单位阵、标量阵、同阶对角阵等）才可能交换。遇到此类题目直接展开对比对应项即可。
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设 $A$ 为对角阵 $\text{diag}(1, 2)$，若 $AB=BA$，则 $B$ 必为什么形状？
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答案：$B$ 也必须是对角阵。 解析：设 $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，展开 $AB=BA$ 可得 $b=0, c=0$。
- 若向量组 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ k \\ 8 \end{pmatrix}$ 线性相关，则 $k =$ ______。
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答案：1
解析：
- 建立矩阵：将向量按列组成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$。
- 判定条件：向量组线性相关 $\iff$ 其行列式 $|A| = 0$。
- 计算行列式：$$\left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & k \\ 2 & 2 & 8 \end{array} \right| \xrightarrow{R_3 - 2R_1} \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & k \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right|$$按第一列展开：$1 \times (2 \times 2 - 4 \times k) = 4 - 4k$。
- 求解：令 $4 - 4k = 0$，得 $k = 1$。
难度: ⭐⭐ 考点: #线性相关 #行列式判定
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若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，则 $2\alpha_1, 3\alpha_2, \alpha_3$ 是否线性相关？
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答案：是。 解析：常数倍不改变向量组的秩（非零倍数），若原组相关，新组必相关。
- 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $A$ 的秩为 $n - 1$，则线性方程组 $Ax = 0$ 的通解为 ______。
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答案：$k(1, 1, \dots, 1)^T$
解析：
- 分析已知条件：各行元素之和为零，意味着：$$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum a_{1j} \\ \sum a_{2j} \\ \vdots \\ \sum a_{nj} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$
- 寻找特解：上述式子说明 $\xi = (1, 1, \dots, 1)^T$ 是 $Ax = 0$ 的一个非零特解。
- 确定解空间维度：已知 $R(A) = n-1$，根据维数公式，基础解系含 $n - R(A) = n - (n-1) = 1$ 个向量。
- 构造通解：由于基础解系只含 1 个向量，且 $\xi$ 为非零解，故 $\xi$ 即为基础解系。通解为 $k\xi$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #线性方程组通解 #矩阵秩与解的关系
🔄 举一反三
若 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $R(A) = n-2$，且 $\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax=0$ 的两个线性无关解，则其通解为？
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答案：$x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2$。 解析：解空间维数为 $n - (n-2) = 2$，故两个无关解即构成基础解系。
三、计算题（每小题10分，共50分）
- 计算 $n$ 阶行列式：
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答案：$x^n + (-1)^{n+1} y^n$
解析： 按第一列展开行列式：
- 计算 $a_{11}C_{11}$： $a_{11} = x$。其代数余子式 $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$，其中 $M_{11}$ 是一个 $(n-1)$ 阶上三角行列式，对角线元素全为 $x$。 故 $C_{11} = x^{n-1}$，则 $a_{11}C_{11} = x \cdot x^{n-1} = x^n$。
- 计算 $a_{n1}C_{n1}$： $a_{n1} = y$。其代数余子式 $C_{n1} = (-1)^{n+1} M_{n1}$。 $M_{n1}$ 为：$$\left| \begin{array}{ccccc} y & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x & y & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & x & y \end{array} \right|$$这是一个 $(n-1)$ 阶下三角行列式，对角线元素全为 $y$。 故 $M_{n1} = y^{n-1}$，则 $a_{n1}C_{n1} = y \cdot (-1)^{n+1} y^{n-1} = (-1)^{n+1} y^n$。
- 合并结果： $D_n = x^n + (-1)^{n+1} y^n$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #行列式展开 #n阶行列式
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📖 相关公式：
- 三角行列式的值等于对角线元素之积。
- 行列式按行（列）展开法则。
🔄 举一反三
计算如下 $n$ 阶行列式：
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答案：$[a + (n-1)b](a - b)^{n-1}$。 解析：将所有列加至第一列，提取公因子 $a+(n-1)b$，再进行行初等变换。
- 求解矩阵方程 $AX = A^2 - X$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
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答案：$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 3/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}$
详细推导：
- 整理方程： $AX + X = A^2 \implies (A + E)X = A^2$。
- 检查可逆性： $A + E = \begin{pmatrix} 1+1 & 0 & 1 \\ 0 & 1+1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。 其行列式 $|A+E| = 2 \times 2 \times 2 = 8 \neq 0$，故 $A+E$ 可逆。
- 求解 $X$： $X = (A + E)^{-1} A^2$。
- 计算 $(A+E)^{-1}$： 利用初等变换或公式法得：$(A+E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}$。
- 计算 $A^2$： $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
- 最终计算： $X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 3/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩阵方程 #矩阵求逆
💡 学习锦囊
📖 相关公式：
- $AX=B \implies X=A^{-1}B$（前提 $A$ 可逆）
- $XA=B \implies X=BA^{-1}$（前提 $A$ 可逆）
🔄 举一反三
解矩阵方程 $XA = B$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
查看练习答案与解析
答案：$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。 解析：$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $X = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
- 求矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值及特征向量。
查看答案与解析
答案：$\lambda_1 = 1, \xi_1 = (3, 1, -3)^T; \lambda_{2,3} = 3, \xi_2 = (-1, -1, 1)^T$
详细推导：
- 求特征多项式： $|\lambda E - A| = \left| \begin{array}{ccc} \lambda-2 & -3 & -2 \\ -1 & \lambda-4 & -2 \\ -1 & 3 & \lambda-1 \end{array} \right| \xrightarrow{R_1 - R_2} \left| \begin{array}{ccc} \lambda-1 & -(\lambda-1) & 0 \\ -1 & \lambda-4 & -2 \\ -1 & 3 & \lambda-1 \end{array} \right|$ 提取 $(\lambda-1)$ 并列变换 $C_2 + C_1$： $(\lambda-1) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-5 & -2 \\ -1 & 2 & \lambda-1 \end{array} \right| = (\lambda-1)[(\lambda-5)(\lambda-1) + 4] = (\lambda-1)(\lambda-3)^2$。 特征值为 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \lambda_3 = 3$。
- 求特征向量：
- 当 $\lambda = 1$ 时：解 $(E-A)x=0$。 $\begin{pmatrix} -1 & -3 & -2 \\ -1 & -3 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 得 $\xi_1 = (3, 1, -3)^T$（或其非零倍数）。
- 当 $\lambda = 3$ 时：解 $(3E-A)x=0$。 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 0 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 得 $\xi_2 = (-1, -1, 1)^T$（或其非零倍数）。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #特征值 #特征向量
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📖 相关公式：
- 特征方程：$|\lambda E - A| = 0$。
- 性质：$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$；$\prod \lambda_i = |A|$。
🔄 举一反三
求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值。
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答案：$\lambda_1=1, \lambda_2=2$。 解析：上三角矩阵的特征值即为其对角线元素。
- 设 $\alpha_1 = (1, -1, 2, 1), \alpha_2 = (2, -2, 4, -2), \alpha_3 = (3, 0, 6, -1), \alpha_4 = (0, 3, 0, -4)$，求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
查看答案与解析
答案：极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$；$\alpha_4 = -3\alpha_1 + \alpha_3$
详细推导：
- 构造矩阵并化简：将向量作为列。$$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$行变换： $\xrightarrow[R_3-2R_1, R_4-R_1]{R_2+R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{交换R_2, R_4} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 进一步化为行最简形： $\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 结论：
- 阶梯头所在列为第 1, 2, 3 列，故极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$。
- 由最简形最后一列知：$\alpha_4 = -3\alpha_1 + 0\alpha_2 + 1\alpha_3 = -3\alpha_1 + \alpha_3$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #极大无关组 #线性表示
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📖 核心步骤：
- 向量作列构造矩阵。
- 仅用初等行变换化为阶梯形。
- 阶梯头所在列即为极大无关组，利用最简形系数写出线性表示。
🔄 举一反三
若向量组中含零向量，零向量能否出现在极大无关组中？
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答案：不能。 解析：极大无关组必须是线性无关的，而任何含零向量的向量组必线性相关。
- 求齐次线性方程组
的一个基础解系和通解。
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答案：基础解系为 $\xi_1 = (1, 1, 0, 0)^T, \xi_2 = (-4, 0, -1, 1)^T$；通解为 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2$
详细推导：
- 写出系数矩阵并化简：$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & -5 & 3 \\ 4 & -4 & 3 & 19 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \to \dots \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
- 确定自由变量：秩 $R(A)=2$，未知数 4 个，故基础解系含 $4-2=2$ 个向量。自由变量取 $x_2, x_4$。
- 求基础解系：
- 令 $x_2=1, x_4=0 \implies x_1=1, x_3=0 \implies \xi_1 = (1, 1, 0, 0)^T$。
- 令 $x_2=0, x_4=1 \implies x_1=-4, x_3=-1 \implies \xi_2 = (-4, 0, -1, 1)^T$。
- 写出通解：$x = k_1(1, 1, 0, 0)^T + k_2(-4, 0, -1, 1)^T$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #基础解系 #通解
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📖 判定准则：
- 基础解系向量个数 = $n - R(A)$。
- 基础解系各向量必须是原方程的解且线性无关。
🔄 举一反三
求 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ 的一个基础解系。
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答案：$\{(-1, 1, 0)^T, (-1, 0, 1)^T\}$。 解析：$n=3, R(A)=1$，基础解系含 2 个向量。令 $x_2, x_3$ 为自由变量即可。
四、证明题（每小题7分，共14分）
- 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $AA^T = E_n$ 和 $|A| = -1$，证明：$|A + E_n| = 0$。
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证明：
- 利用正交矩阵性质： 由 $AA^T = E$ 知 $A$ 为正交矩阵，且 $A^T = A^{-1}$。
- 变形技巧：$$|A + E| = |A + AA^T| = |A(E + A^T)|$$
- 利用行列式乘法性质：$$|A(E + A^T)| = |A| \cdot |E + A^T|$$
- 代入 $|A| = -1$：$$|A + E| = -1 \cdot |E + A^T|$$
- 利用转置性质： 由于 $|E + A^T| = |(E + A)^T| = |E + A|$， 代入上式得：$|A + E| = -|A + E|$。
- 得出结论： $2|A + E| = 0 \implies |A + E| = 0$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #正交矩阵 #行列式性质 #矩阵证明
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📖 相关公式：
- $|A^T| = |A|$
- $|kA| = k^n|A|$
- $|AB| = |A||B|$
🔄 举一反三
证明：若 $A$ 是奇数阶反对称矩阵，则 $|A| = 0$。
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证明：
- 反对称矩阵满足 $A^T = -A$。
- 两边取行列式：$|A^T| = |-A|$。
- 由性质知：$|A| = (-1)^n|A|$。
- 由于 $n$ 为奇数，$|A| = -|A| \implies 2|A| = 0 \implies |A| = 0$。
- 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，满足 $A^k = 0$，证明：$E - A$ 可逆，并且
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证明：
- 构建乘积： 考察矩阵 $E - A$ 与 $B = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$ 的乘积。
- 展开计算：$$(E - A)(E + A + A^2 + \dots + A^{k-1})$$$$= (E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}) - (A + A^2 + A^3 + \dots + A^k)$$
- 消除中间项：$$= E - A^k$$
- 利用已知条件： 已知 $A^k = 0$，故：$$(E - A)B = E$$
- 得出结论： 根据逆矩阵的定义，若存在矩阵 $B$ 使得 $(E-A)B = E$，则 $E-A$ 可逆且 $B$ 为其逆矩阵。 即 $(E - A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #逆矩阵定义 #幂零矩阵 #矩阵级数
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📖 相关公式： 若 $A^k = 0$，则 $(E-A)^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} A^i$。 类比：实数中当 $|x|<1$ 时，$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots$。
🔄 举一反三
若 $A^2 = 0$，求 $(E+A)^{-1}$。
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答案：$E - A$。 解析：$(E+A)(E-A) = E^2 - A^2 = E - 0 = E$。